项目源起
在亚布力的时候，偶然的一次滑水，在GitHub上找到了某个描述在某个感兴趣装置中的粒子运动模拟。欣喜之余仔细阅读了源码与作者的项目介绍，不免大失所望，不仅缺乏很多必要的头文件，且作者直言并没有足够的知识去解决这个问题。因此处于好奇，不免想要尝试一下。（虽然经过短暂的构思，发现确实存在很多问题）。
初期尝试
由于先前想要计算的问题十分复杂，而且发生的过程极快，因此难以在现有知识水平下进行程序的搭建。突然想到了某些圣遗物和某个被封了很多年知识科普团队，于是定下了第一步计划：在不考虑粒子间相互作用、不考虑相对论效应、不考虑Maxwell方程的前提下，单粒子或多粒子在常电磁场中的三维运动可视化。且求解过程基于物理方程描述。（即忘记粒子是如何在场中运动的结论）
目录
物理过程的数学表达
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程序化准备
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Codeing
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运行结果
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缺点分析及展望
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结束语
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物理过程的数学表达
“当听者以为自己已有所得时，真正的内行会觉得连皮毛也不是。” ――克莱因，《数学在19 世纪的发展》 我想，单粒子轨道这个看似简单的问题可能也深邃到我们尚只理解其皮毛 。 ——《计算等离子体物理导论》
单粒子在场中运动，从入门角度而言，任何上过高中的理科生都可以回答这个问题：磁场改变运动方向，电场改变粒子速度。通过高中的大量训练，我们知道如何联立洛伦兹力与向心力求解平面中的粒子运动，复杂一点的情况下，小球受轨道电场力平抛等等。再最开始，我也想直接进行一番物理计算，把运动模式给出来，即给出闭式方程。但这显然是不科学的。场在空间的复杂分布会超出我们的计算能力，且并不是所有物理过程的数学描述都有通解。
在电磁场中，带电粒子所受的洛伦兹力为：
运动轨迹由Newton‘s Law给出：
通过以上方程组，理论上可以求解出空间中粒子在常电磁场作用下的任意运动。
程序化准备
接下来我们简要的分析一下，为程序化做准备（离散化方程）。
在笛卡尔坐标下，任何物理量都可以由三维分量表示，比如：
电场E = [E_x,E_y,E_z]，磁场B =[B_x,B_y,B_z]，场力F = [F_x,F_y,F_z]
粒子速度V= [v_x,v_y,v_z]，粒子位置Position= [X,Y,Z]
对于任意时刻t，都可以计算出时刻t下的F，由：
采用向后差分（方程的解可由初始条件确定），可离散化为：
整理为：
得到当前时刻下的速度，进一步可以得到当前时刻的位置，由
整理为：
最后，我们能够得到代求解的方程组为：
当然，用前朝的剑斩本朝的官，肯定存在大问题。后文会总结，未来会改进。
在程序（Python）中，这段表示为：
F = p.q * (E + np.cross(p.v,B))
p.v = p.v + F * (timestep/p.m)
p.pos = p.pos + p.v * timestep如果采用比如数学功能较强的软件，只需要给出最开始的数学描述微分方程即可。
Codeing
剩下的工作就是Coding，让它能够在符合语法规范的情况下运行。
总的来看，主要包含以下几个模块：
class Particle #粒子
class Field #场
class ParticleSimulator #粒子运动
def visualize(simulator) #可视化
def test_visualize() #运行粒子
粒子是粒子仿真的重点，具有质量与电荷，需要定义初始位置与初始速度。定义粒子类：
class Particle:
def __init__(self,start_pos,v,mass,Quantity):
#start_pos , v is 3 dim
self.pos = start_pos
self.m = mass
self.q = Quantity
self.v = v
self.sum = np.zeros([1,3]) #储存粒子的历史位置场
场是粒子在场中运动的重点，目前虽然是单一指向的常场，但长远考虑，需要建立一个场类：
class Field:
def __init__(self):
'''
self.B = np.array([20, 20, 30])
self.E = np.array([10., 20.,-15])
'''
self.B = np.array([0, 0, 0.5])
self.E = np.array([0, 0, 0.2])粒子仿真
粒子仿真按时步进行，对于每一个时步求解上述方程组并更新粒子位置与记录路径总和。在一个ParticleSimulator类中，对于时间dt的更新方式为：
def evolve(self,dt): #参数传入更新时间dt
timestep = 1e-3 #确定更新的最小时步
nsteps = int(dt / timestep) #分割时间内计算空间
#传入场参数
f = self.f
B = f.B
E = f.E
for i in range(nsteps):
for p in self.particles:
#控制方程求解
F = p.q * (E + np.cross(p.v,B))
p.v = p.v + F * (timestep/p.m)
p.pos = p.pos + p.v * timestep
p.sum = np.append(p.sum,[p.pos],axis=0)可视化
可视化利用matplotlib库中的animation.FuncAnimation()函数，对于指定的ParticleSimulator.evolve粒子运动更新方式，按照函数传入的设定参数进行绘制更新。这里更多的是函数的使用方式。比如绘制时.set_data()方法只允许传入两个坐标参数，第三维需要额外使用.set_3d_properties()传入。更多的细节不再赘述。
line.set_data(X[i],Y[i])
line.set_3d_properties(Z[i])使用方式
在一个定义的test_visualize()中，首先设定粒子信息：
#单粒子时
particles = [Particle(position, v, mass, q)]
#多粒子时
particles = [Particle(position1, v1, mass1, q1),
Particle(position2, v2, mass2, q2),
Particle(position3, v3, mass3, q3)]接着设定场
field = Field()传入仿真参数
simulator = ParticleSimulator(particles,field)可视化
visualize(simulator)运行时调用test_visualize()即可。
代码总览
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation
class Particle:
def __init__(self,start_pos,v,mass,Quantity):
#start_pos , v is 3 dim
self.pos = start_pos
self.m = mass
self.q = Quantity
self.v = v
self.sum = np.zeros([1,3])
class Field:
def __init__(self):
self.B = np.array([0, 0, 0.5])
self.E = np.array([0, 0, 0.])
class ParticleSimulator:
def __init__(self,particles,Field):
self.particles = particles
self.f = Field
#最小时间dt内更新轨迹
def evolve(self,dt):
timestep = 1e-3
nsteps = int(dt / timestep)
f = self.f
B = f.B
E = f.E
for i in range(nsteps):
for p in self.particles:
F = p.q * (E + np.cross(p.v,B))
p.v = p.v + F * (timestep/p.m)
p.pos = p.pos + p.v * timestep
p.sum = np.append(p.sum,[p.pos],axis=0)
def visualize(simulator):
X = [p.pos[0] for p in simulator.particles]
Y = [p.pos[1] for p in simulator.particles]
Z = [p.pos[2] for p in simulator.particles]
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(projection = "3d")
line, = ax.plot(X, Y, Z)
ax.set(xlim3d=(-20,10), xlabel='X')
ax.set(ylim3d=(-20,10), ylabel='Y')
ax.set(zlim3d=(-10,20), zlabel='Z')
def init():
line.set_data([], [])
line.set_3d_properties([])
return line,
def init2():
line.set_data([], [])
line.set_3d_properties([])
return line
def animate(i):
simulator.evolve(0.1)
X = [p.sum[:,0] for p in simulator.particles]
Y = [p.sum[:,1] for p in simulator.particles]
Z = [p.sum[:,2] for p in simulator.particles]
line.set_data(X[i],Y[i])
line.set_3d_properties(Z[i])
return line,
anim = animation.FuncAnimation(fig,
animate,
frames=len(X),
init_func=init,
blit= True,
interval=1)
plt.show()
def test_visualize():
p1 = np.array([0, 0, 0])
v = np.array([1,0,0])
particles = [Particle(p1, v, 3, 1)]
field = Field()
simulator = ParticleSimulator(particles,field)
visualize(simulator)
if __name__ == '__main__':
test_visualize()运行结果
运行环境
处理器：基于Apple Silicon的Arm64构架的M1
内存：16GB DDR4
操作系统：macOS Monterey 12.4
语言：miniforge虚拟环境下的Python3.9
具有初速度的粒子在恒定磁场下运动
带电粒子在具有一定沿X方向初速度，在沿Z方向恒定磁场下运动，所得的图像如下图所示：
根据高中知识可以知道，是圆形轨道。
具有初速度的粒子在恒定电磁场下运动
带电粒子在具有一定沿X方向初速度，在沿Z方向恒定电磁场下运动，所得的图像如下图所示：
初速度为0的粒子在任意电磁场下的运动
带电粒子在某一任意指向电磁场下的运动如下图所示：
单粒子在受控电磁场下被约束
理想情况下，单粒子在受控的电磁场作用下被约束在特定范围内。
多粒子
程序在二维平面内支持多粒子运动，但当拓展至三维空间内，由于程序逻辑，粒子是交替产生的。
缺点分析及展望
目前，该项目存在非常多的缺陷。
- 计算逻辑低效。本次演示的计算逻辑为绘图驱动计算。即计算过程是伴随着动画的渲染而不断更新的。因此运行低效、处理困难、规模繁琐。——改进方向：先进行粒子运动计算，再由数据驱动路径绘制。
- 数值解法能量耗散。向后差分的方法会造成体系能量的耗散，会造成系统随着时间演化精度不断下降。——改进方向：采用更先进的差分方法，比如通过哈密尔顿量计算，确保体系完备。
- 运行效率低。随着运行时间增长，Particle中存储了大量的解，且每次绘图都需要重新遍历，时间开销逐步增大。通过改进缺点1可以克服
- 物理场复杂化计算可靠性未验证。当物理场随着空间分布后，计算是否任然可靠未验证。
- 拓宽粒子相互作用与Maxwell方程组
结束语
又是不务正业的几天时间，别人该写实习报告的写实习报告，该学习预习的预习，该搞项目的搞项目；能力不足还想学人造轮子，只能是自讨苦吃！
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